作业帮关于托密勒定理的问题假如已知园内一内接四边形,怎么证明对角线乘积=两组对边的乘积和?我不是很理解:当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 06:20:23
关于托密勒定理的问题假如已知园内一内接四边形,怎么证明对角线乘积=两组对边的乘积和?我不是很理解:当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.
关于托密勒定理的问题
假如已知园内一内接四边形,怎么证明对角线乘积=两组对边的乘积和?
我不是很理解:
当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.
关于托密勒定理的问题假如已知园内一内接四边形,怎么证明对角线乘积=两组对边的乘积和?我不是很理解:当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.
在圆内接四边形中,两条对角线长度的积等于它的两组对边乘积的和,即AB*CD+AD*BC=AC*BD.
证明:过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,
∴△ACD∽△BCP.
又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,
∴△ACB∽△DCP.
①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.
即AC·BD=AB·CD+AD·BC.
证明如下：在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
则三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
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证明如下：在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
则三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC
又因为BE+ED>=BD
所以命题得证
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