作业帮已知曲线C上任意一点M到点F（0,1）的距离比它到直线L：y=-2的距离小11.求曲线C的方程2.过点P（2,2）的直线m与曲线C交于A,B两点,设向量AP=λ向量PB当ΔAOB面积为四倍根号二时,求λ的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 21:05:05
已知曲线C上任意一点M到点F（0,1）的距离比它到直线L：y=-2的距离小11.求曲线C的方程2.过点P（2,2）的直线m与曲线C交于A,B两点,设向量AP=λ向量PB当ΔAOB面积为四倍根号二时,求λ的值
已知曲线C上任意一点M到点F（0,1）的距离比它到直线L：y=-2的距离小1
1.求曲线C的方程
2.过点P（2,2）的直线m与曲线C交于A,B两点,设向量AP=λ向量PB
当ΔAOB面积为四倍根号二时,求λ的值
已知曲线C上任意一点M到点F（0,1）的距离比它到直线L：y=-2的距离小11.求曲线C的方程2.过点P（2,2）的直线m与曲线C交于A,B两点,设向量AP=λ向量PB当ΔAOB面积为四倍根号二时,求λ的值
（1）设M（x,y）,则由题设得|MF|=|y+2|-1,
即 x2+(y-1)2=|y+2|-1
当y≥-2时, x2+(y-1)2=y+1,化简得x2=4y；
当y＜-2时, x2+(y-1)2=-y-3,
化简得x2=8y+8与y＜-3不合
故点M的轨迹C的方程是x2=4y
（2）当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为y-2=k（x-2）,即y=kx+（2-2k）,
代入x2=4y得x2-4kx+8（k-1）=0（☆）
△=16（k2-2k+2）＞0对k∈R恒成立,所以,直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则x1+x2=4k,x1x2=8（k-1）
①由 AP→=λPB→,且λ=1得点P是弦AB的中点,
∴x1+x2=4,则4k=4,得k=1
∴直线m的方程是x-y=0
②∵|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)[(x2+x1)2-4x2x1]=4(1+k2)(k2-2k+2)
点O到直线m的距离d= |2-2k|1+k2,
∴S△ABO= 12|AB|•d=4|k-1|k2-2k+2=4(k-1)4+(k-1)2
∵S△ABO=4 2,∴ 4(k-1)4+(k-1)2=42,
∴（k-1）4+（k-1）2-2=0,（k-1）2=1或（k-1）2=-2（舍去）
∴k=0或k=2
当k=0时,方程（☆）的解为±2 2
若x1=2 2,x2=-22,则 λ=2-22-22-1=3-22
若x1=-2 2,x2=22,则 λ=2+2222-2=3+22
当k=2时,方程（☆）的解为4±2 2
若x1=4+2 2,x2=4-22,则 λ=-2-222-22=3+22
若x1=4-2 2,x2=4+22,则 λ=-2+222+22=3-22
所以,λ=3+2 2或 λ=3-22