哥德尔不完备定理的理解,求教根据哥德尔不完备第一定理,任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题. 就是在形式上说无法证明“A=非A

哥德尔不完备定理的理解,求教根据哥德尔不完备第一定理,任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题. 就是在形式上说无法证明“A=非A
哥德尔不完备定理的理解,求教
根据哥德尔不完备第一定理,任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题. 就是在形式上说无法证明“A=非A”为真但也不能证明“A=非A”为假.
我这理解对吗?

哥德尔不完备定理的理解,求教根据哥德尔不完备第一定理,任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题. 就是在形式上说无法证明“A=非A
在数理逻辑中,哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1930年证明并发表的两条定理.简单地说,第一条定理指出：
任何一个相容的数学形式化理论中,只要它强到足以蕴涵皮亚诺算术公理,就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题.
这条定理是在数学界以外最著名的定理之一,也是误解最多的定理之一.形式逻辑中有一条定理也同样容易被错误表述.有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理,但事实上是错误的.稍后我们可以看到一些对哥德尔定理的误解.
把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后,哥德尔证明了他的第二条定理.该定理指出：
任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性.

"该命题无法被证明为真，也不能被证明为假”不等价于“无法证明该命题等价于该命题的反命题为真或者为假”。你的推理是错误的，因为如果你在定义体系内证明“A=非A”为真，不能说明其本身命题的真假。同理也适用于另一种情况。

为了解释这个问题 我需要初略叙述一些模型论的基本知识 有些严格定义是比较麻烦的 我只是举例子说一下。
1 什么叫一个理论 一个理论包括2部分 一部分是符号集 一部分是一些能用符号写出来的命题 我们叫公理集
2 什么叫模型？ 比如说 对于ABEL群（有0，有加法，加法有交换律 结合律， 任何元素X 有Y使 X+Y=0）的理论 自然数 Z 就是是一个模型， 有理数Q 也是一...

全部展开

为了解释这个问题 我需要初略叙述一些模型论的基本知识 有些严格定义是比较麻烦的 我只是举例子说一下。
1 什么叫一个理论 一个理论包括2部分 一部分是符号集 一部分是一些能用符号写出来的命题 我们叫公理集
2 什么叫模型？ 比如说 对于ABEL群（有0，有加法，加法有交换律 结合律， 任何元素X 有Y使 X+Y=0）的理论 自然数 Z 就是是一个模型， 有理数Q 也是一个模型。
3 在一阶逻辑中 有完备性定理 就是说一个理论中 一个命题是可以被证明的 等价于在其所有模型中都成立。打个比方 在ABEL群的理论中 一个命题: 任何X 存在Y有 X=Y+Y. 是否能被证明呢？ 答案是不能 因为 在 Z这个模型中 1就不能写出2个相同整数的和。 那它的反面：存在X 任何Y有 X不=Y+Y. 能不能被证明呢？ 答案还是不能 因为 在 Q这个模型中 任何X 有X=X/2+X/2.
4什么叫做一个理论是完备的呢？ 如果这里理论中 所以能被写出来的命题 或者能被证明 或者其反面能被证明 则其完备。 完备的理论有 比如说 代数封闭域的理论就是完备的。 不完备的理论 比如有刚才举得例子 ABEL群的理论就是不完备的。
5哥德尔不完备性定理是 什么意思呢？
他的意思是所有可递归的 包含皮亚诺公理的理论 都是不完备的。
这里有2点解释 一个是什么叫可递归的？ 如果存在一个算法 能判断 任何一段话是不是一个证明 那么 这个理论就叫做课递归的。
如果去掉这个要求 不完备定理就是不成立的。 因为我们总可以找一个模型， 然后 把这个模型的所有 真命题加到 公理中去 得到的理论就一定是完备的。
什么叫皮亚诺公理呢？ 这个建议你维基百科一下。 皮亚诺公理是一族描述自然数的 公理， 其中最非平凡的一条是所谓归纳公理，是数学归纳法的基础。
事实上我们先前也看到过不完备的理论，比如说ABEL群的理论。所以说现在看到哥德尔不完备性定理也就没什么好惊讶的了。 不完备性只所以出现 很大程度是因为 模型的不唯一性。 其实任何理论的模型都是不唯一的。 但是如果理论的模型在一些条件下能有一定的唯一性 那么就可以证明他是完备的。 而哥德尔不完备性定理 就是说 我们所熟知的自然数这个 模型 是不能用一族简单的公理来完全描述的， 如果一定要完全的描述它 得到的理论就不是递归的。

收起

不是，是说有个命题A，在这体系内既不能证明是对的，也不能证明是错的。

这对哥德尔不完备第一定理的理解 是不可判定性( undecidability).
1931年，数学家和逻辑学家哥德尔证明，在一个正式的系统部份存在的命题在公理的基础上不能证明(判定)真假。这就是所谓的哥德尔的不可判定性定理(undecidability)。他还表明，在一个足够丰富的正式制度，对所有问题的可判定性需要，将有矛盾的陈述。这就是所谓的不完全性定理(Incompleteness)。...

全部展开

这对哥德尔不完备第一定理的理解 是不可判定性( undecidability).
1931年，数学家和逻辑学家哥德尔证明，在一个正式的系统部份存在的命题在公理的基础上不能证明(判定)真假。这就是所谓的哥德尔的不可判定性定理(undecidability)。他还表明，在一个足够丰富的正式制度，对所有问题的可判定性需要，将有矛盾的陈述。这就是所谓的不完全性定理(Incompleteness)。
在建立这些哥德尔定理表明，有不能被任何规则或程序集解决的问题，而是对这些问题必须始终增延公理。这反证了在不同的数学分支，并可以集成在一个单一的逻辑基础放置时间的共同信念。
第一不完备定理 陈述那没有系统一致的公理,其定理可以被一道“有效的程序”（基本上，一个电脑程序）列出并有能力证明关于自然数所有事实。这样的系统始终存在部份不能证明(判定)其真假的有关于自然数的命题 。

收起