作业帮关于一个与 “第五公设” 等价命题的证明求关于“三角形的面积可以任意大”与第五公设的等价性证明 只要详细准确的证明就可以了注：据某书本所述,这是高斯提出来的 “证明” 第五公
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 19:10:48
关于一个与 “第五公设” 等价命题的证明求关于“三角形的面积可以任意大”与第五公设的等价性证明 只要详细准确的证明就可以了注：据某书本所述,这是高斯提出来的 “证明” 第五公
关于一个与 “第五公设” 等价命题的证明
求关于“三角形的面积可以任意大”与第五公设的等价性证明
只要详细准确的证明就可以了
注：据某书本所述,这是高斯提出来的 “证明” 第五公设的“引理”——当然是错的,但书本没有给出其与 “第五公设” 等价的证明过程
而且百度上竟然也没有
关于一个与 “第五公设” 等价命题的证明求关于“三角形的面积可以任意大”与第五公设的等价性证明 只要详细准确的证明就可以了注：据某书本所述,这是高斯提出来的 “证明” 第五公
这个问题比较复杂,牵涉到很多东西,我只能提供一部分信息.这一尝试可追溯到Wallis,当然条件稍强一些.
所谓的等价性要看其它的公理,比如Euclid的关于直线无限延伸第二共设排除了椭圆几何,如果采用Hilbert绝对几何公理体系的话也可以说明平行线的存在性,同样自动排除椭圆几何.在这样的体系里只需要证明与第五共设等价的Playfair公理,即过直线外一点最多只有一条平行线.
有一种证明的方式是这样,用反证法假定至少有两条平行线,从这一平行公理出发导出双曲几何下的面积S=(pi-A-B-C)R^2,这样就得到上界pi*R^2,与面积无上界矛盾.
面积的定义很其实重要,用显式表达式来定义的方式依赖于平行公理.比如Euclid几何里的面积依赖于矩形的存在性,Lobachevsky几何或球面几何里的面积则都借助A+B+C-pi,这些显式定义都依赖各自的平行公理.所以如果不想依赖平行公理的话面积的定义需要用满足非负性和可加性的函数的方式来给抽象定义.
只采用抽象面积定义的证明方式我不知道,不过我可以给你提供一些信息.尽管没有平行公理,还是有很多工具可以用的.比如
1) 内错角相等导致直线平行.(但是反过来不行,那样就等价于欧氏平行公理)
2) 平行线的存在性：做垂线的垂线即得.
3) 三角形外角大于不相邻内角；任何两个内角和小于pi；三个内角和不超过pi.
4)用来证明欧氏平行公理比较好的目标也许是存在一个内角和为pi的三角形.另一个目标可以是非全等的相似形的存在性,也可以导致欧氏平行公理.